Бесконечно мерный куб. Шаг в многомерное пространство

Если вы поклонник фильмов про Мстителей, первое, что может прийти вам на ум, когда вы услышите слово «Tesseract», это прозрачный кубообразный сосуд Камня бесконечности, содержащий безграничную силу.

Для поклонников Вселенной Marvel Тессеракт — это светящийся синий куб, от которого люди с не только Земли, но и других планет тоже сходят с ума. Вот почему все Мстители объединились, чтобы защитить Землян от чрезвычайно разрушительных сил Тессеракта.

Однако нужно сказать следующее: Тессеракт — это фактическое геометрическое понятие, а точнее, форма, существующая в 4D. Это не просто синий куб от Мстителей … это реальная концепция.

Тессеракт — это объект в 4 измерениях. Но прежде чем мы подробно объясним его, давайте начнем с самого начала.

Что такое «измерение»?

Каждый человек слышал термины 2D и 3D, представляя соответственно двумерные или трехмерные объекты пространства. Но что представляют собой эти измерения?

Измерение — это просто направление, в котором вы можете пойти. Например, если вы рисуете линию на листе бумаги, вы можете идти либо влево / вправо (по оси x), либо в направлении вверх / вниз (ось y). Таким образом, мы говорим, что бумага двумерна, так как вы можете идти только в двух направлениях.

В 3D есть ощущение глубины.

Теперь, в реальном мире, помимо упомянутых выше двух направлений (слева / справа и вверх / вниз), вы также можете пойти «в / из». Следовательно, в 3D-пространстве добавляется ощущение глубины. Поэтому мы говорим, что реальная жизнь 3-мерная.

Точка может представлять 0 измерений (поскольку она не перемещается в любом направлении), линия представляет 1 измерение (длина), квадрат представляет 2 измерения (длина и ширина), а куб представляет 3 измерения (длина, ширина и высота).

Возьмите 3D-куб и замените каждую его грань (которая в настоящее время является квадратом) кубом. И вот! Форма, которую вы получаете, — это и есть тессеракт.

Что такое тессеракт?

Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве. Вы также можете сказать, что это 4D-аналог куба. Это 4D-форма, где каждая грань является кубом.

3D-проекция тессеракта, выполняющая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей.
Изображение: Jason Hise

Вот простой способ концептуализации размеров: квадрат — двумерный; поэтому каждый из его углов имеет 2 линии, отходящих от него под углом 90 градусов друг к другу. Куб — 3D, поэтому каждый из его углов имеет 3 линии, сходящие с него. Аналогичным образом, тессеракт представляет собой 4D-форму, поэтому каждый угол имеет 4 линии, отходящих от него.

Почему трудно представить себе тессеракт?

Поскольку мы, как люди, эволюционировали, чтобы визуализировать объекты в трех измерениях, все, что входит в дополнительные измерения, такие как 4D, 5D, 6D и т. д., не имеет для нас большого смысла, потому что мы вообще не можем их представить. Наш мозг не может понять 4-го измерения в пространстве. Мы просто не можем об этом думать.

Однако только потому, что мы не можем визуализировать концепцию многомерных пространств, это не значит, что она не может существовать.

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале XX века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырехмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на веревке развязать, не прикасаясь к ее концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента. Мистики поместили души усопших в четвертое измерение. Для обычного человека идея четырехмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают четырехмерное пространство плодом воображения ученых и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Проблема восприятия

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Чтобы составить наглядное представление о четырехмерных фигурах, будем использовать аналогии из пространств низшей размерности для экстраполяции на фигуры высшей размерности, пользоваться методом моделирования, применять методы системного анализа для поиска закономерностей между элементами четырехмерных фигур. Предложенные модели должны адекватно описывать свойства четырехмерных фигур, не противоречить друг другу и давать достаточное представление о четырехмерной фигуре и, в первую очередь, о ее геометрической форме. Так как в литературе нет систематического и наглядного описания четырехмерных фигур, а имеются только их названия с указанием некоторых свойств, мы предлагаем начать изучение четырехмерных фигур с самой простой – четырехмерного куба, который называется гиперкубом.

Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трехмерного куба.

Мы будем иметь представление о гиперкубе, если познаем его свойства. Субъект воспринимает некоторый объект, представляя его в виде некоторой модели. Воспользуемся данным методом, и представление о гиперкубе изложим в виде различных моделей.

Аналитическая модель

Будем рассматривать одномерное пространство (прямую линию) как упорядоченное множество точек M (x ), где x – координата произвольной точки прямой. Тогда единичный отрезок задается указанием двух точек: A (0) и B (1).

Плоскость (двумерное пространство) можно рассматривать как упорядоченное множество точек M (x ; y ). Единичный квадрат будет полностью определен его четырьмя вершинами: A (0; 0), B (1; 0), C (1; 1), D (0; 1). Координаты вершин квадрата получены добавлением к координатам отрезка нуля, а потом единицы.

Трехмерное пространство – упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ). Для задания трехмерного куба необходимо восемь точек:

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

E (0; 0; 1), F (1; 0; 1), G (1; 1; 1), H (0; 1; 1).

Координаты куба получены из координат квадрата добавлением нуля, а потом единицы.

Четырехмерное пространство есть упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ; t ). Для задания гиперкуба нужно определить координаты шестнадцати его вершин:

A (0; 0; 0; 0), B (1; 0; 0; 0), C (1; 1; 0; 0), D (0; 1; 0; 0),

E (0; 0; 1; 0), F (1; 0; 1; 0), G (1; 1; 1; 0), H (0; 1; 1; 0),

K (0; 0; 0; 1), L (1; 0; 0; 1), M (1; 1; 0; 1), N (0; 1; 0; 1),

O (0; 0; 1; 1), P (1; 0; 1; 1), R (1; 1; 1; 1), S (0; 1; 1; 1).

Координаты гиперкуба получены из координат трехмерного куба добавлением четвертой координаты, равной нулю, а потом единице.

Используя формулы аналитической геометрии для четырехмерного евклидового пространства, можно получить свойства гиперкуба.
В качестве примера рассмотрим вычисление длины главной диагонали гиперкуба. Пусть требуется найти расстояние между точками A (0, 0, 0, 0) и R (1, 1, 1, 1). Для этого воспользуемся формулой расстояния в четырехмерном евклидовом пространстве.

В двумерном пространстве (на плоскости) расстояние между точками A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2) вычисляется по формуле

Эта формула следует из теоремы Пифагора.

Соответствующая формула расстояния между точками A (x 1 , y 1 , z 1) и B (x 2 , y 2 , z 2) в трехмерном пространстве имеет вид

И в одномерном пространстве (на прямой) между точками A(x 1) и B(x 2) можно записать соответствующую формулу расстояния:

Аналогично расстояние между точками A (x 1 , y 1 , z 1 , t 1) и B (x 2 , y 2 , z 2 , t 2) в четырехмерном пространстве будет вычисляться по формуле:

Для предложенного примера находим

Таким образом, аналитически гиперкуб существует, и его свойства можно описать не хуже, чем свойства трехмерного куба.

Динамическая модель

Аналитическая модель гиперкуба очень абстрактна, поэтому рассмотрим другую модель – динамическую.

Точка (нульмерная фигура), двигаясь в одном направлении, порождает отрезок (одномерную фигуру). Отрезок, двигаясь в направлении перпендикулярно самому себе, создает квадрат (двумерную фигуру). Квадрат, двигаясь в направлении перпендикулярно плоскости квадрата, создает куб (трехмерную фигуру).

Куб, двигаясь перпендикулярно трехмерному пространству, в котором он находился первоначально, порождает гиперкуб (четырехмерную фигуру).

Граница гиперкуба трехмерна, конечна и замкнута. Она состоит из трехмерного куба в начальном положении, трехмерного куба в конечном положении и шести кубов, образованных при движении квадратов исходного куба в направлении четвертого измерения. Вся граница гиперкуба состоит из 8 трехмерных кубов (ячеек).

При движении в первоначальном положении куб имел 8 вершин и в конечном положении также 8 вершин. Следовательно, гиперкуб имеет в общей сложности 16 вершин.

Из каждой вершины исходят по четыре взаимно перпендикулярных ребра. Всего ребер у гиперкуба – 32. В первоначальном положении у него было 12 ребер, в конечном положении также 12 ребер, и 8 ребер образовали вершины куба при движении в четвертом измерении.

Таким образом, граница гиперкуба состоит из 8 кубов, которые состоят из 24 квадратов. А именно, 6 квадратов в исходном положении, 6 – в конечном, и 12 квадратов, образованных при движении 12 ребер в направлении четвертого измерения.

Геометрическая модель

Динамическая модель гиперкуба может показаться недостаточно наглядной. Поэтому рассмотрим геометрическую модель гиперкуба. Как мы получаем геометрическую модель трехмерного куба? Мы делаем его развертку, а из развертки «склеиваем» модель куба. Развертка трехмерного куба состоит из квадрата, к сторонам которого приложено по квадрату плюс еще один квадрат. Примыкающие квадраты поворачиваем вокруг сторон квадрата, а соседние стороны квадратов соединяем друг с другом. А оставшиеся четыре стороны замыкаем последним квадратом (рис. 1).

Аналогично рассмотрим развертку гиперкуба. Его разверткой будет являться трехмерная фигура, состоящая из исходного трехмерного куба, шести кубов, примыкающих к каждой грани исходного куба и еще одного куба. Всего восемь трехмерных кубов (рис. 2). Чтобы из данной развертки получить четырехмерный куб (гиперкуб), нужно повернуть на 90 градусов каждый из прилегающих кубов. Эти прилегающие кубы будут расположены в другом трехмерном пространстве. Соседние грани (квадраты) кубов соединить друг с другом. Вложить восьмой куб гранями в оставшееся незаполненное пространство. Получим четырехмерную фигуру – гиперкуб, граница которого состоит из восьми трехмерных кубов.

Изображение гиперкуба

Выше было показано, как из трехмерной развертки «склеить» модель гиперкуба. Изображения мы получаем с помощью проекции. Центральная проекция трехмерного куба (его изображение на плоскости) выглядит следующим образом (рис. 3). Внутри квадрата находится другой квадрат. Соответствующие вершины квадрата соединены отрезками. Прилегающие квадраты изображены в виде трапеций, хотя в трехмерном пространстве это квадраты. Внутренний и внешний квадраты разных размеров, но в реальном трехмерном пространстве это равные квадраты.

Аналогично центральная проекция четырехмерного куба на трехмерное пространство будет выглядеть так: внутри одного куба находится другой куб. Соответствующие вершины кубов соединены отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырехмерном пространстве это равные кубы (рис. 4).

Шесть усеченных пирамид – это изображения равных шести ячеек (кубов) четырехмерного куба.

Эту трехмерную проекцию можно нарисовать на плоскости и убедиться в истинности свойств гиперкуба, полученных с помощью динамической модели.

Гиперкуб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 грани (квадрата), 8 ячеек (кубов). Из каждой вершины исходят по четыре взаимно-перпендикулярных ребра. Границей гиперкуба является трехмерная замкнутая выпуклая фигура, объем которой (боковой объем гиперкуба) равняется восьми единичным трехмерных кубам. Внутри себя эта фигура содержит единичный гиперкуб, гиперобъем которого равняется гиперобъему единичного гиперкуба.

Заключение

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба.

Мир четырехмерного пространства удивителен! В нем, наряду с похожими фигурами в трехмерном пространстве, существуют и фигуры, аналогов которых нет в трехмерном пространстве.

Многие явления материального мира, макромира и мегамира, несмотря на грандиозные успехи в физике, химии и астрономии, так и остались необъяснимыми.

Нет единой теории, объясняющей все силы природы. Нет удовлетворительной модели Вселенной, объясняющей ее строение и исключающей парадоксы.

Познав свойства четырехмерного пространства и позаимствовав некоторые идеи из четырехмерной геометрии, можно будет не только построить более строгие теории и модели материального мира, но и создать инструменты и системы, функционирующие по законам четырехмерного мира, тогда возможности человека окажутся еще более впечатляющими.

Что такое гиперкуб и четырёхмерное пространство

В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.

Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.

Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.
Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос с родни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц... Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.
Построение гиперкуба
0-мерный куб

Начнём с начала - с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.

1-мерный куб

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.

Это одномерный куб.
2-мерный куб

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат.

Это куб в двумерном пространстве.
3-мерный куб

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовал я - это проекции. О проекциях мы поговорим чуть позже, а пока немного голых фактов и цифр.
Количество вершин, рёбер, граней
Характеристики кубов различной размерности
1-размерность пространства
2-количество вершин
3-количество рёбер
4-количество граней

0 (точка) 1 0 0
1 (отрезок) 2 1 2 (точки)
2 (квадрат) 4 4 4 (отрезки)
3 (куб) 8 12 6 (квадраты)
4 (гиперкуб) 16 32 8 (кубы)
N (общая формула) 2N N·2N-1 2·N

Обратите внимание, что гранью гиперкуба является наш обычный трёхмерный куб. Если внимательно посмотреть на рисунок гиперкуба, то можно действительно найти восемь кубов.
Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства
Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность. (Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.
Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.
Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.
Гиперкуб внутри пустой

В это трудно поверить, но между кубами, ограничивающими гиперкуб, заключено некоторое пространство (фрагмент четырёхмерного пространства).

Чтобы это лучше понять, давайте рассмотрим двумерную проекцию обычного трёхмерного куба (я специально сделал её несколько схематичной).

Можно ли по ней догадаться, что внутри куба есть некоторое пространство? Да, но только применив воображение. Глаз этого пространства не видит. Это происходит потому, что рёбра, расположенные в третьем измерении (которое нельзя изобразить на плоском рисунке), теперь превратились в отрезки, лежащие в плоскости рисунка. Они больше не обеспечивают объём.

Квадраты, ограничивающие пространство куба, наложились друг на друга. Но можно представить, что в исходной фигуре (трёхмерном кубе) эти квадраты располагались в разных плоскостях, а не один поверх другого в одной плоскости, как это получилось на рисунке.

Точно так же дело обстоит и с гиперкубом. Кубы-грани гиперкуба на самом деле не накладываются, как это кажется нам на проекции, а располагаются в четырёхмерном пространстве.
Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом - нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.
Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз. Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.
Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области.

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.
Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство

Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.

Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.

ИСТОЧНИК 2

Тессеракт - четырёхмерный гиперкуб, аналог куба в четырёхмерном пространстве. Согласно Оксфордскому словарю, слово «tesseract» было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру «тетракубом».

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат ABCD. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трехмерный куб ABCDHEFG. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Одномерный отрезок АВ служит гранью двумерного квадрата ABCD, квадрат - стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и еще 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и еще четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.
Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в четвёртом измерении. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Её часть, оставшаяся в «нашем» пространстве, нарисована сплошными линиями, а то, что ушло в гиперпространство, пунктирными. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс еще один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развертка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни». Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Другие названия
Гексадекакхорон (Hexadecachoron)
Октохорон (Octachoron)
Тетракуб (Tetracub)
4-Куб (4-Cube)
Гиперкуб (если не оговаривается число измерений)

10-тимерное пространство
там по-английски.кто не знает-на картинках вполне понятно

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Тессеракт - четырёхмерный гиперкуб - куб в четырёхмерном пространстве.
Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. τετρα - четыре) - четырёхмерным кубом.
Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:
[-1, 1]^4 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Популярное описание
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.
Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат - стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.
Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.
Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.
Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.
Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».
Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

В геометрии гиперкуб - это n -мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом.

Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли" ("A New Era of Thought"). Слово было образовано от греческого "τεσσερες ακτινες" ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

n -мерный гиперкуб также называется n-кубом .

Точка - это гиперкуб размерности 0. Если сдвинуть точку на единицу длины, получится отрезок единичной длины - гиперкуб размерности 1. Далее, если сдвинуть отрезок на единицу длины в направлении перпендикулярном направлению отрезка получится куб - гиперкуб размерности 2. Сдвигая квадрат на единицу длины в направлении перпендикулярном плоскости квадрата, получается куб - гиперкуб размерности 3. Этот процесс может быть обобщен на любое количество измерений. Например, если сдвинуть куб на единицу длины в четвертом измерении, получится тессеракт.

Семейство гиперкубов является одним из немногих правильных многогранников, которые могут быть представлены в любом измерении.

Элементы гиперкуба

Гиперкуб размерности n имеет 2n "сторон" (одномерная линия имеет 2 точки; двухмерный квадрат - 4 стороны; трехмерный куб - 6 граней; четырехмерный тессеракт - 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно 2 n (например, для куба - 2 3 вершин).

Количество m -мерных гиперкубов на границе n -куба равно

Например, на границе гиперкуба находятся 8 кубов, 24 квадрата, 32 ребра и 16 вершин.

Элементы гиперкубов

n-куб	Название	Вершина (0-грань)	Ребро (1-грань)	Грань (2-грань)	Ячейка (3-грань)	(4-грань)	(5-грань)	(6-грань)	(7-грань)	(8-грань)
0-куб	Точка	1
1-куб	Отрезок	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	Куб	8	12	6	1
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Эненеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекция на плоскость

Формирование гиперкуба может быть представлено следующим способом:

• Две точки A и B могут быть соединены, образуя отрезок AB.
• Два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены, образуя квадрат ABCD.
• Два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены, образуя куб ABCDEFGH.
• Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены, образуя гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двухмерное или трехмерное пространство. Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже.

На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. Эта схема также заставляют искать соединенные друг с другом кубы. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки.

Гиперкуб в искусстве

Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе "Дом, который построил Тил" ("And He Built a Crooked House") описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот Далее этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах.

В фильме "Куб 2: Гиперкуб" рассказывается о восьми людях, запертых в сети гиперкубов.

На картине Сальвадора Дали "Распятие" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств (Metropolitan Museum of Art) в Нью-Йорке.

Заключение

Гиперкуб - одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные фигур. Так, например, бруски невозможного треугольника в четырех измерениях будут соединены под прямыми углами. И эта фигура будет выглядеть так со всех точек обзора, и не будет искажаться в отличие от реализаций невозможного треугольника в трехмерном пространстве (см.